{"id":34384,"date":"2013-12-09T07:00:27","date_gmt":"2013-12-09T07:00:27","guid":{"rendered":"http:\/\/www.climatemonitor.it\/?p=34384"},"modified":"2013-12-07T12:09:42","modified_gmt":"2013-12-07T12:09:42","slug":"fit-dei-dati-noaa-con-segmenti","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.climatemonitor.it\/?p=34384","title":{"rendered":"Fit dei dati NOAA con segmenti"},"content":{"rendered":"

Dopo il post<\/a><\/strong> sul lavoro di Akasofu mi sono chiesto se il “non-modello” semi-empirico che ho usato per rappresentare le anomalie medie annuali di NOAA sia accettabile, almeno in termini descrittivi. Ricordo che i dati erano stati approssimati con una retta -i cui parametri derivano dai minimi quadrati lineari- cui si sovrappone una sinusoide con parametri (ampiezza, periodo, fase iniziale) assegnati manualmente, “guardando i dati” e quindi con notevole soggettivit\u00e0. L’altro metodo usato \u00e8 stato quello di un fit non lineare in cui, fissato il periodo della sinusoide, si cercano quattro parametri. Nel precedente post avevo scritto che ” cambiano leggermente i numeri ma non il concetto complessivo”.
\nPer cercare di quantificare l’affermazione ho usato il Criterio Informativo Bayesiano (Bayesan Information Criterion o BIC, Schwarz, 1978), ben descritto in un articolo molto citato (Seidel & Lanzante, 2004). Questo articolo \u00e8 a pagamento e personalmente l’ho trovato con fatica perch\u00e8 l’Universit\u00e0 di Bologna non \u00e8 abbonata alla sezione D del Journal of Geophysical Research: propongo quindi un riassunto quasi completo (Menne,2006<\/a><\/strong>) liberamente disponibile in rete.
\nIl metodo BIC parte dalla necessit\u00e0 di descrivere una serie di dati in modo pi\u00f9 accurato rispetto alla rappresentazione lineare, e nello stesso tempo ugualmente semplice. Vuole poi trovare un indice statistico in grado di giudicare la bont\u00e0 di diverse rappresentazioni. Per fare questo viene proposto di dividere la serie in n<\/i> “segmenti”, definiti da (n-1) break-point<\/i> scelti opportunamente, ognuno dei quali sia fittato linearmente secondo lo schema mostrato nella Fig.1 di Seidel & Lanzante, 2004 riportata sotto<\/span><\/p>\n

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\"fig1sl\"<\/a><\/p>\n

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Per valutare le capacit\u00e0 dei diversi modelli, si usa una modifica del BIC con la grandezza S(q), l’indice che definisce la qualit\u00e0 del fit, calcolata da:<\/span><\/p>\n

\"eq1\"<\/a><\/span><\/p>\n

dove q<\/i> \u00e8 il numero di parametri usati nel (nei) fit,T<\/i> e Tmod<\/sub><\/i> i dati osservati e calcolati, rispettivamente, n<\/i> il numero dei dati e Ne<\/sub><\/i> il numero efficace<\/i> (effective) dei dati che dipende dalla funzione di autocorrelazione dei residui a lag=1. Il secondo termine dell’eq.(1) \u00e8 una “penalit\u00e0” che rende S(q) pi\u00f9 grande al crescere del numero di parametri usati nei fit e del numero efficace dei dati. Il fit risulta tanto migliore quanto minore \u00e8 il valore di S(q).<\/span><\/p>\n

Ho applicato il criterio ai dati mensili NOAA fino ad ottobre 2013 (grafici e dati visibili qui<\/a><\/strong>) per avere un controllo del metodo, reso pi\u00f9 accurato dal maggior numero di dati. Ho poi usato come dati le medie annuali dei dati NOAA fnoa ad agosto 2013 (gli stessi del post precedente) con i 4 break points fissati agli anni 1910, 1945, 1975, 2001, marcati in rosso nella fig.1 (pdf<\/a><\/strong>) successiva.<\/p>\n

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\"fig1\"<\/a>
Fig 1. Definizione dei 4 break point usati: delimitano 5 segmenti negli intervalli temporali 1880-1910; 1911-1945; 1946-1975; 1975-2001; 2002-2013\/agosto<\/em><\/figcaption><\/figure>\n

Credo che per questi dati la rappresentazione migliore sia quella detta “piecewise linear” (lineare a tratti, a segmenti) e scelgo di confrontare questo modello con il fit lineare di tutti i dati, con il “non-modello” semi-empirico del post precedente (retta+seno) e con il fit non lineare (retta+seno). Tutti i parametri (tranne quelli semi-empirici che non hanno valori tutti calcolati) sono riportati qui<\/a><\/strong> insieme ai valori della funzione di autocorrelazione dei residui, a lag 1 e 2. L’ultimo gruppo di valori, identificato da AFIT08, viene dal fit non lineare e quindi ha una struttura diversa dagli altri gruppi.
\nIl grafico successivo (pdf<\/strong><\/a>) mostra come si dispongono tutti fit rispetto ai dati osservati.<\/span><\/p>\n

\"fig2\"<\/a>
Fig 2. Tutti i fit dei dati NOAA (medie annuali, tratto continuo grigio). Sono riportate le pendenze di ogni segmento e le equazioni dei fit dei dati completi.<\/em><\/figcaption><\/figure>\n

Il calcolo dell’eq.(1) e di tutte le sue componenti \u00e8 raccolto nella tabella 1<\/a><\/strong>; la seconda parte mostra l’anno e i residui (cio\u00e8 osservato-calcolato o (o-c)) di tutti i fit. I valori dei segmenti (piecewise o pw) sono stati raggruppati in un unico file dal quale viene calcolato il valore S(q). Seguendo Siegel & Lanzante,2004 o Menne,2006, il valore di q per il modello lineare a tratti (piecewise linear) \u00e8 2Nb<\/sub>+2=10, con Nb<\/sub>=4 numero dei break point; nel fit lineare q=2 e in quello non lineare q=4.<\/p>\n

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\"fig3\"<\/a>
Fig. 3. Residui per i quattro fit che coprono tutto l’intervallo temporale dei dati. “afit08” significa fit non lineare (retta+seno). <\/em><\/figcaption><\/figure>\n

Sia i valori di S(q) che il grafico qui sopra dei residui di Fig.3 (pdf<\/strong><\/a>) mostrano chiaramente che il modello lineare a tratti \u00e8 il migliore, seguito a distanza dal modello non lineare (retta+seno) e dal modello semi-empirico (retta+seno); il modello lineare (retta) \u00e8 il peggiore, anche se usa il minor numero di parametri.<\/span><\/p>\n

La “classifica” si vede bene anche nella Fig.4 (pdf<\/strong><\/a>).<\/p>\n

\"fig4\"<\/a>
Fig.4. Funzione di autocorrelazione (ACF), con lag (0-12 anni), dei residui che coprono sia a) tutto l’intervallo dei dati che b) i 5 segmenti definiti dai break-point e, ripetuta, l’acf del fit lineare (retta).<\/em><\/figcaption><\/figure>\n

Infatti l’autocorrelazione quasi zero del modello lineare a tratti identifica residui non correlati (o poco correlati) tra loro. Non possiamo parlare di indipendenza tra i residui a lag diverso perch\u00e9 \u00e8 ben noto che due variabili indipendenti hanno correlazione nulla, mentre la correlazione nulla non implica necessariamente che le variabili siano indipendenti (l’indipendenza -se esiste- va provata in altro modo), ma una bassa correlazione tra i residui \u00e8 indice di fit migliore.
\nIl modello lineare a tratti, il migliore in assoluto, in situazioni in cui il numero dei dati nei singoli segmenti \u00e8 basso potrebbe far pensare ad una influenza preponderante del rumore statistico. Il quinto tratto (2002-2013), composto di 12 valori e unico caso in cui Ne<\/sub>>n, potrebbe essere in questa situazione.<\/p>\n

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Il conclusione, il modello semi-empirico utilizzato nel post precedente \u00e8 il peggiore tra quelli esaminati (esclusa la semplice retta) ma, nella sua imprecisione, fornisce almeno un’idea dell’andamento generale delle anomalie di temperatura.<\/p>\n

Per finire, una nota divertente: il modello lineare a tratti ha l’insuperabile difetto di essere sotto gli strali di SkS (qui<\/strong>)<\/a> che accusa gli scettici (del cambiamento climatico, dice: errore blu! semmai dell’AGW) di usare il fit lineare a tratti invece di una sola retta (v. fig.2 e fig.3, sopra per capire il perch\u00e9). Non mi risulta che Seidel e Lanzante (NOAA al momento della scrittura dell’articolo) e Menne (NOAA, attuale responsabile del dataset, con il quale ho scambiato mail circa un anno fa) siano scettici e non mi risultano strali personalizzati di SkS verso chi per primo ha definito statisticamente il metodo del fit a tratti. Al massimo, “quelli che sbagliano sempre” hanno usato i metodi disponibili e, direi, ben giustificati.<\/p>\n

Bibliografia<\/b><\/p>\n

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  1. Tutti i grafici e i dati numerici sono disponibili qui<\/a><\/strong><\/i><\/li>\n
  2. Menne, M.J.: Abrupt global temperature change and the instrumental record<\/i> , Am.Met.Soc.<\/b> , 4.3<\/span>, 86, 2006 (PDF<\/strong>)<\/a><\/li>\n
  3. Schwarz G.: Estimating the Dimension of a Model<\/i>. Ann. Statist.<\/b>, Volume 6<\/span>, Number 2, 1978, 461-464. PDF al sito del Project Euclid<\/a><\/strong>.<\/li>\n
  4. Seidel, D.J., Lanzante,J.R.: An assessment of three alternatives to linear trends for characterizing global atmospheric temperature changes<\/i> , J. Geophys. Res.<\/b>, 109<\/span>, D14108, doi:10.1029\/2003JD004414, 2004.<\/li>\n<\/ol>\n

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    <\/div>